Các Cách Chứng Minh Tứ Giác Nội Tiếp Đường Tròn

Bài toán thù chứng tỏ tứ giác nội tiếp đường tròn

I. Hướng dẫn giải

– Phương pháp 1: Chứng minc tđọng giác tất cả nhị góc vuông thuộc quan sát một cạnh hoặc một con đường chéo cánh (trọng điểm đường tròn nước ngoài tiếp tđọng giác được xác minh là trung điểm của cạnh hoặc mặt đường chéo cánh đó).

Bạn đang xem: Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

– Phương thơm pháp 2: Chứng minch tđọng giác có tổng hai góc đối bởi

*
.

– Pmùi hương pháp 3: Chứng minch tứ giác gồm hai góc đều nhau thuộc quan sát một cạnh


– Phương pháp 4: Chứng minc bốn đỉnh của tứ đọng giác cùng phương pháp đông đảo một điểm.

– Phương thơm pháp 5: Chứng minch nếu như tđọng giác ABCD gồm AB giảm CD trên M mà

MA.MB = MC.MD thì tđọng giác ABCD nội tiếp.

II. bài tập mẫu

Bài 1. Cho đường tròn trung khu O. Từ điểm A nghỉ ngơi phía bên ngoài đường tròn (O) vẽ nhị tiếp tuyến đường AB và AC với đường tròn (B, C là nhì tiếp điểm). Trên BC rước điểm M, vẽ con đường trực tiếp vuông góc với OM trên M, giảm AB cùng AC thứu tự tại E với D. Chứng minh các tđọng giác EBMO với DCOM nội tiếp được vào con đường tròn. Xác định vai trung phong những đường tròn đó.

Giải

– Chứng minch tứ đọng giác EBMO nội tiếp

Có OM ⊥ ME (gt) đề nghị góc OME bởi

*

OB ⊥ BE (BE là tiếp con đường của (O)) nên góc OBE bằng

*

Vậy, tứ giác EBMO có nhì góc vuông cùng nhìn cạnh OE bắt buộc tđọng giác EBMO nội tiếp trong đường tròn đường kính OE.

– Chứng minch tứ giác DCOM nội tiếp

Có OM ⊥ OD (gt) cần góc OMD bằng

*

CD ⊥ OC (CĐ là tiếp đường của (O)) bắt buộc góc OCD bởi

*

Vậy, tđọng giác DCOM bao gồm nhì góc vuông thuộc chú ý cạnh OD buộc phải tứ giác DCOM nội tiếp trong mặt đường tròn đường kính OD.

Bài 2. Cho con đường tròn trung tâm O 2 lần bán kính AB = 2R. CD là đường kính cầm tay. hotline d là tiếp con đường tại B của mặt đường tròn (O), những con đường thẳng AC, AD cắt d theo lần lượt tại Phường với Q.Chứng minc tứ đọng giác CPQD nội tiếp được mặt đường tròn.

Giải

Ta có:

Có: góc ADB bằng

*
(góc nội tiếp chắn nửa mặt đường tròn)

Từ (1) cùng (2) suy ra:

⇒ Tứ giác CPQD nội tiếp được mặt đường tròn.

Bài 3. Qua điểm B nằm ở vị trí bên ngoài mặt đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến BC với BD với đường tròn (O), (C, D là những tiếp điểm). Từ B vẽ mèo con đường BMN (M nằm trong lòng B và N, tia BN nằm giữa hai tia BC và BO), Hotline H là giao điểm của BO cùng CD.

a. Chứng minc BM.BN = BH.BO.

b. Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp.

Giải

a. Ta có: BC = BD (đặc thù hai tiếp tuyến đường giảm nhau)

OC = OD (nửa đường kính đường tròn (O))

⇒ BO là đường trung trực của CD ⇒ BO ⊥ CD (1)

△BMC và △BCN có:

Nên △BMC đồng dạng △Bcông nhân (g.g)

Do (1) ta có △BCO vuông trên C, con đường cao CH:

*
(3)

Từ (2) cùng (3) ⇒ BM.BN = BH.BO.

b. Ta có: BM.BN = BH.BO (minh chứng trên)

△BMO và △BTP Hà Nội có:

⇒ △BMO đồng dạng △BHN (c.g.c)

⇒ Tđọng giác OHMN nội tiếp (hai góc đều bằng nhau cùng nhìn một cạnh).

Bài 4. Cho mặt đường tròn trọng tâm O với điểm M ở ở ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO giảm (O) trên E và F (ME

a. Chứng minh MA.MB = ME.MF.

b. Hotline H là hình chiếu vuông góc của điểm C xuất hành trực tiếp MO. Chứng minh tứ đọng giác AHOB nội tiếp.

Xem thêm: Chế Phẩm Từ Bơ Sữa Là Gì ? Chúng Tốt Hay Xấu? Cách Chọn Bơ Sữa Chất Lượng Tốt Nhất

Giải

a. Hai tam giác MAE và MBF có:

⇒ △MAE đồng dạng với △MBF (g.g)

Nên:

b. Do hệ thức lượng vào đường tròn ta có:

MA.MB =

*

Mặt khác, hệ thức lượng trong tam giác vuông MCO mang lại ta:

MH.MO =

*
 ⇒ MA.MB = MH.MO

⇒ Tứ giác AHOB nội tiếp trong đường tròn.

III. bài tập vận dụng

Bài 1. Cho nửa mặt đường tròn trung ương O đường kính AB = 2R. Điện thoại tư vấn C, D là hai điểm trên nửa con đường tròn kia làm thế nào để cho C nằm trong dây AD với góc COD bởi

*
. Điện thoại tư vấn giao điểm của nhì dây AD và BC cùng E, giao điểm của các mặt đường trực tiếp AC và BD là F.

a. Chứng minch tứ điểm C, D, E, F thuộc nẳm trên một đường tròn.

b. Tính bán kính của con đường tròn đi qua C, E, D, F nói trên theo R.

Bài 2. Cho nửa mặt đường tròn (O) 2 lần bán kính BC. Lấy điểm A bên trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến đường AF cùng với nửa mặt đường tròn (O) (F là tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp con đường Bx của nửa đường tròn (O) tại D (tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa khía cạnh phẳng bờ BC cất nửa con đường tròn (O)). call H là giao điểm của BF với DO, K là giao điểm thứ nhị của DC cùng với nửa mặt đường tròn (O).

a. Chứng minhh: AO.AB = AF.AD.

b. Chứng minc tứ giác KHOC nội tiếp.

Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong mặt đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A cùng D chúng giảm nhau ở E. Điện thoại tư vấn M là giao điểm của hai tuyến đường chéo cánh AC và BD.

Chứng minh tứ đọng giác AEDM nội tiếp được trong một mặt đường tròn.

Bài 4. Cho nhì điểm A, B thắt chặt và cố định và góc xAy bởi

*
(B trực thuộc miền trong góc xAy, B không thuộc Ax, Ay. Đường trực tiếp BN cắt Ax trên H và con đường thẳng BM cắt Ay trên K. Gọi I, J thứu tự là trung điểm của AB, HK.

a. Chứng minch HK = 2MN

b. Chứng minh tứ đọng giác MINJ nội tiếp được mặt đường tròn.

Bài 5. Cho góc vuông xOy và 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA > 0), điểm M bất kì trên cạnh Oy (M≠O). Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA, MB thứu tự tại điểm lắp thêm hai: C, E. Tia OE cắt con đường tròn (T) trên điểm sản phẩm nhị F.

a. Chứng minh tư điểm: O, A, E, M vị trí 1 con đường tròn.

b. Tứ đọng giác OCFM là hình gì? Tại sao?

Bài 6. Cho mặt đường tròn trọng điểm O 2 lần bán kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (AB>BC). Vẽ con đường tròn trung tâm O’ 2 lần bán kính BC. Điện thoại tư vấn I là trung điểm của AC. Vẽ dây cung MN vuông góc với AC trên I, MC giảm con đường tròn trung tâm O’ tại D.